Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasını ifade etmek için kullanılan bir matematiksel gösterimdir. Üslü sayılar genellikle a^n şeklinde yazılır, burada a taban (sayının kendisi) ve n üssü (kaç kez kendisiyle çarpılacağı) ifade eder.
Üslü Sayıların Temel Özellikleri:
- Pozitif Üs: ana^nan ifadesi, a sayısının n kez kendisiyle çarpılmasını ifade eder. Örneğin, 23=2×2×2=82^3 = 2 \times 2 \times 2 = 823=2×2×2=8.
- Sıfırın Üssü: Herhangi bir sayı (0 dışında) sıfırıncı üssü alındığında sonuç 1 olur:a0=1(eg˘er a≠0)a^0 = 1 \quad (\text{eğer} \ a \neq 0)a0=1(eg˘er a=0)Örneğin, 50=15^0 = 150=1 ve (−3)0=1(-3)^0 = 1(−3)0=1.
- Negatif Üs: Negatif üsler, bir sayının tersinin alınarak üssü pozitif yapılmasını ifade eder. Yani, a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}a−n=an1. Örneğin:2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}2−3=231=81
- Bir Sayının 1. Üssü: Herhangi bir sayının birinci üssü, kendisiyle aynıdır:a1=aa^1 = aa1=aÖrneğin, 71=77^1 = 771=7 ve (−4)1=−4(-4)^1 = -4(−4)1=−4.
- Üslü Sayılarla Çarpma ve Bölme:
- Çarpma: Aynı tabana sahip üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}am×an=am+n Örneğin, 23×22=23+2=25=322^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 3223×22=23+2=25=32.
- Bölme: Aynı tabana sahip üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır: aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}anam=am−n Örneğin, 2522=25−2=23=8\frac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3 = 82225=25−2=23=8.
- Üssün Üssü: Bir üslü sayının üssü alındığında, üsler çarpılır:(am)n=am×n(a^m)^n = a^{m \times n}(am)n=am×nÖrneğin, (32)3=32×3=36=729(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729(32)3=32×3=36=729.
- Negatif Sayıların Üslü Hesaplamaları:
- Pozitif bir sayının tek üssü negatif işaret taşımaz. Örneğin (−2)3=−8(-2)^3 = -8(−2)3=−8.
- Çift üssü olan negatif bir sayının sonucu pozitif olur: (−2)2=4(-2)^2 = 4(−2)2=4.
Üslü Sayılarla İlgili İleri Konular:
Üslü sayılar genellikle daha ileri düzeydeki matematiksel hesaplamaların temelini oluşturur. Matematiksel analiz, logaritmalar ve mühendislik gibi alanlarda, üslü sayılar çok yaygın olarak kullanılır. Örneğin, logaritmalar, üslü sayılarla ilişkilidir ve bir üssün ters işlemi olarak düşünülebilir.
Örnekler:
- 34=3×3×3×3=813^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 8134=3×3×3×3=81
- 2−2=122=142^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}2−2=221=41
- 50=15^0 = 150=1
- (42)3=42×3=46=4096(4^2)^3 = 4^{2 \times 3} = 4^6 = 4096(42)3=42×3=46=4096